Devoir surveillé du 19 mai 2004

A.- Fusée Ariane et satellite

Calculatrice autorisée

D’après Encyclopedia Universalis (1998)

(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.

Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par du peroxyde d’azote N (masse de peroxyde emportée: 147,5 tonnes).

L'intensité de la force de poussée totale  de ces 4 réacteurs est constante pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2 445 kN.

Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d’altitude un satellite de 4 850 kg ; il peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite de 965 kg ; il peut aussi être utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour des applications météorologiques.

I - L’ascension de la fusée Ariane

Le champ de pesanteur  est supposé uniforme : son intensité est g0 = 9,8 m.s-2.

On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut. On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu’on suppose galiléen.

1. Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la fusée Ariane lorsqu’elle s’élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d’Archimède dans l’air.            [0,25 pt]

La force de pesanteur P et la poussée des moteurs F, conséquence de l'éjection des gaz de combustion.

2. À un instant quelconque, la masse de la fusée est m.

Déterminer en fonction de m et des intensités des deux forces précédentes la valeur de l’accélération a.          [0,25 pt]

Par application de la 2ème loi de Newton :  =>     

Poids et Poussée ont même direction. La projection de cette relation vectorielle sur cette direction donne :

3. On considère d’abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1.Calculer la valeur numérique de l’accélération a1 à cet instant.

D'après le texte, au décollage, la masse totale de la fusée est m1 = 2,08.105 kg
La poussée est constamment égale à F = 2,445.106 N
Le poids vaut P = m1g0, avec g0 = 9,8 N.kg-1

Donc :

On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d’azote ne soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de l’accélération a2 à cet instant. Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?  [0,75 pt]

La masse m2 est la masse totale diminuée de la masse de peroxyde : m2 = (2,08 – 1,475).105 = 6,05.104 kg

L'intensité de la pesanteur est supposée uniforme.

Donc :

4. La valeur de la vitesse d'éjection Ve des gaz issus de la combustion du peroxyde d’azote est donnée par la relation :
             où  est la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l’unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.

Selon l'expression de Ve :
Mais

Donc :  La vitesse d'éjection est bien une distance par unité de temps, en mètre par seconde.

Numériquement :

Quel est le signe de  ? En déduire le sens de . Qu'en pensez-vous ?

L'éjection du combustible provoque la diminution de la masse de la fusée. Dm est négatif et la vitesse d'éjection se fait dans le sens opposé de la poussée.

À l’aide d’une loi connue qu’on énoncera, expliquer pourquoi l’éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.            [1,50 pt]

Les moteurs de la fusée éjectent les gaz en exerçant sur eux une force . Donc, selon la 3ème loi de Newton, les gaz exercent sur la fusée une force égale et opposée :  . C'est la force de la poussée.

II — Étude du satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)

On s’intéresse au mouvement d’un satellite artificiel S, de masse mS, en orbite circulaire (rayon r) autour de la Terre de masse MT, de rayon RT et de centre O. On suppose que la Terre est une sphère et qu’elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite peut être assimilé à un point.

1. Préciser les caractéristiques du vecteur accélération  d’un point animé d un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.     [0,50 pt]

L'accélération est centripète, donc dirigée vers le centre de la trajectoire, et sa valeur est :

2. Énoncer la loi de la gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle.

Faire un schéma sur lequel les vecteurs-forces sont représentés.          [0,50 pt]

Deux objets A et B, de masses mA et mB s'attirent selon la loi :

3. Le satellite S est à l’altitude h : on a donc r = R + h.

On appelle la force qu’exerce la Terre sur le satellite. Cette force dépend de la position du satellite et on pose . On note g(h) 1'intensité de la pesanteur  à l’endroit où se trouve le satellite: || = g(h). Exprimer g(h) en fonction de MT, RT, h et G puis g(h) en fonction de RT, h et g0 = g(0).           [0,75 pt]

La comparaison de  et de  permet d'exprimer g(h) :

Or : , donc :  et donc : 

4. Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en orbite circulaire.

En déduire l’expression de la vitesse vS du satellite en fonction de g0, RT et h puis celle de sa période de révolution TS.            [1,00 pt]

Deuxième loi de Newton, la seule force extérieure appliquée sur le satellite étant la force de gravitation terrestre :

Donc :  =>    =>   =>      

La période de révolution est la durée pour parcourir une circonférence :

5. Application numérique : Calculer vS et TS sachant que g0 = 9,8 m.s-2 ; h = 200 km et RT = 400 km.           [0,50 pt]

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B.- Oscillations libres et forcées

Calculatrice autorisée

Les valeurs numériques nécessaires à la résolution sont données à la fin de l'exercice.

Pour modéliser le ressort du système de suspension de voiture, un élève suggère d’utiliser un ressort de constante de raideur k (valeur indiquée par le fournisseur).

I - Étude statique

Dans un premier temps, cet élève se propose de vérifier la valeur de la constante de raideur du ressort.

Pour cela il mesure la longueur du ressort seul et trouve une longueur l0.

Il suspend ensuite une masse m au ressort, celui-ci a alors une longueur l.

1. À partir de la mesure observée, calculer la valeur k’ de la raideur.   [0,25 pt]

Par définition, si F est la force de rappel exercée par un ressort à son extrémité : F = k'(ll0)

Or, à l'équilibre : F = P.           Donc : 

2. Quelle est l’erreur relative commise par rapport à la valeur de k indiquée
par le fournisseur.         [0,25 pt]

L'erreur absolue est Dk = k' – k =1,7 N.m-1 L'erreur relative est :

II - Étude dynamique

Cet élève utilise un système d’acquisition de données schématisé figure 1. Deux électrodes A et B, immobiles plongées dans la solution S, sont reliées aux bornes + 5 V et - 5 V d’un générateur de tension (voir schéma ci-contre). Une tige métallique t, recouverte d'un isolant sur toute sa longueur, est fixée à la masse m. Son extrémité E, légèrement dénudée de son isolant, suit donc exactement le mouvement de la masse m.

La mesure de la tension entre le point E et la borne 0 V du générateur permet de détecter la position de E (le dispositif de mesure n’est pas représenté sur le schéma). Ainsi, il est possible de connaître la position de la masse m au cours des oscillations.

Après réglage des paramètres du logiciel d’acquisition, l’élève écarte la masse m vers le bas, de 1 cm, et il laisse le système osciller librement. Le déclenchement de l’acquisition se fait par le passage à la position d’équilibre. La courbe obtenue est donnée sur la figure a ci-après (à rendre avec la copie) :

1. Indiquer comment mesurer la période d’oscillations de la masse m suspendue au ressort et donner la valeur de cette période.           [0,50 pt]

Il faut évaluer la durée du plus grand nombre d'oscillations (2,5 ici) et calculer la durée d'une oscillation :            

2. Cette valeur est-elle en accord avec la valeur théorique  ?        [0,25 pt]

Par application numérique :

3. On remplace la solution conductrice par une solution S’ plus visqueuse. Dessiner sur la figure b donnée ci-après (à rendre avec la copie) 1'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition.      [0,75 pt]

Une solution plus visqueuse va augmenter les frottements sur le fil immergé. Un certain amortissement va apparaître, entraînant :
- une diminution progressive de l'amplitude des oscillations
- une légère augmentation de la période des oscillations

III - Étude des oscillations forcées

L'élève relie maintenant l’extrémité du ressort à un excentrique mu par un moteur (figure 2) et réalise plusieurs enregistrements pour différentes vitesses de rotation du moteur mesurées par la fréquence de rotation f en Hertz.

Il relève l’amplitude de chaque courbe enregistrée.

1. Quel nom donne-t-on au moteur muni de l’excentrique ?                 [0,25 pt]

Dans ce montage, le moteur joue le rôle de l'excitateur

2. Quel nom donne-t-on au système (ressort + masse) ?          [0,25 pt]

Et l'ensemble masse-ressort est le résonateur

3. Quel phénomène obtient-on à f = 3,2 Hz ? [0,25 pt]

Pour 3,2 Hz, l'amplitude des oscillations est maximale. C'est le phénomène de résonance.

4. En déduire la période des oscillations à la résonance.                                              [0,25 pt]

Période :

5. Comparer cette période à celle des oscillations libres.          [0,25 pt]

Les deux périodes sont égales

6. Quel(s) changement(s) observerait-on si on utilisait la solution visqueuse S’. [0,50 pt]

L'amplitude maximale (à la résonance) serait plus petite. On dit que la résonance serait moins aiguë.
Accessoirement, la période des oscillations libres correspondantes augmentant, la fréquence de résonance serait légèrement inférieure à 3,2 Hz.

IV - Suspension d’une automobile

Le système de suspension d’une automobile comprend des ressorts et des amortisseurs. L’automobile est donc un système mécanique oscillant de fréquence propre f0.

Certaines pistes du désert ont un aspect de « tôle ondulée » : elles comportent une succession régulière de bosses, distantes de L (quelques dizaines de centimètres).

Pour une vitesse VR, le véhicule subit des oscillations de forte amplitude qui diminuent dangereusement sa tenue de route.

1. Expliquer ce phénomène, en précisant le rôle joué par la piste déformée.     [0,50 pt]

Les bosses de la piste exercent périodiquement des forces verticales sur les roues et compriment périodiquement les ressorts de la suspension de la voiture. La piste déformée joue le rôle d'excitateur et le système oscillant voiture-ressorts, celui de résonateur.

2. Exprimer la vitesse VR en fonction de f0 et de L.

Calculer cette vitesse en km.h-1 avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm.           [0.50 pt]

Pour qu'il y ait résonance (oscillations d'amplitude maximale), il faut que la fréquence des impulsions données par les bosses à la voiture soit égale à la fréquence propre des oscillations de la voiture, f0 = 5,0 Hz (5 bosses par seconde)
Il faut donc que la durée pour aller d'une bosse à la suivante soit :
C'est la durée que met la voiture pour parcourir 80 cm. Sa vitesse est donc :

Données :

k = 40 N.m-1    ;           m = l00 g         ;           l0 = 10,0 cm     ;           l = 12,4 cm      ;

g = 10 N.kg-1

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