Devoir Surveillé Novembre 2004

Datation au carbone 14

> DOCUMENT

La Terre est bombardée en permanence par des particules très énergétiques venant du cosmos. Ce rayonnement cosmique est composé notamment de protons très rapides. Les noyaux des atomes présents dans la haute atmosphère « explosent » littéralement sous le choc de ces protons très énergétiques et, parmi les fragments, on trouve des neutrons rapides. Ces neutrons rapides peuvent à leur tour réagir avec des noyaux d’azote de la haute atmosphère. Lors du choc, tout se passe comme si un neutron rapide éjectait un des protons d’un des noyaux d’azote et prenait sa place pour former un noyau Y1. Ce noyau Y1 est un isotope particulier du carbone, le carbone 14, qui est radioactif : en émettant un électron et une particule non observable, l’antineutrino, il se décompose en un noyau Y2. La période ou demi-vie du carbone 14 est 5 570 ans. Comme le rayonnement cosmique bombarde la Terre depuis longtemps, un équilibre s’établit entre la création et la décomposition du carbone 14: il y a autant de production que de décomposition si bien que la teneur en carbone 14 de tous les organismes vivants reste identique au cours du temps. Ce carbone s’oxyde en dioxyde de carbone qui se mélange à celui de l’atmosphère, à celui dissous dans l’eau, etc. et sera métabolisé par les plantes et à travers elles par tous les organismes vivants. Dans chaque gramme de carbone de l’atmosphère ou des organismes vivants, les atomes de carbone sont en très grande majorité des atomes de carbone 12, mais il y a 6,8.1010 atomes de carbone 14.

D’après L Berkès « La physique du quotidien »

On donne, pour différents noyaux :

H : Z = 1 ; He : Z = 2 ; C : Z = 6 ; N : Z = 7 ; O : Z = 8

1 an = 365 jours.

 

> QUESTIONS

I.- Réactions nucléaires dans la haute atmosphère

1. Le proton est représenté par le symbole . Justifier cette écriture.                        [0,25 pt]

La quasi-totalité des noyaux d’hydrogène possède un proton seul, et pas de neutrons.
Donc : Z = 1 et A + 1

2. L’équation de la réaction qui a lieu lorsque le neutron rapide éjecte un des protons du noyau d’azote peut s’écrire :            

a. Énoncer les lois de conservation qui régissent une réaction nucléaire.       [0,25 pt]

Une réaction nucléaire conserve la quantité d’électricité et le nombre de nucléons.

b. Vérifier que, comme l’indique le texte, on obtient bien du carbone 14 ; préciser la composition de ce noyau.                                                                                    [0,75 pt]

Selon les lois de conservation, il faut :          A + 1 = 1 + 14            => A = 14
                                                                  Z + 1 = 0 + 7              => Z = 6
Un nombre de charge égal à 6 correspond bien à l’élément carbone. Il s’agit donc du carbone 14, possédant 6 protons et 14 nucléons dont 8 neutrons.

3. Désintégration du carbone 14

a. Écrire l’équation de la réaction qui a lieu lorsque un noyau de carbone 14 se décompose à son tour, en précisant le type de radioactivité du carbone 14. On ne tiendra pas compte de l’antineutrino produit.                                                                                 [0,50 pt]

Le texte dit que le carbone 14 émet un électron. Il s’agit donc de radioactivité b-. Pour respecter les règles de conservation, on doit écrire :                      

b. Identifier l’élément Y2 formé.                                                                             [0.25 pt]

Avec Z = 7, l’élément formé est l’azote.

II.- Phénomène de décroissance radioactive

1. Donner la définition du temps de demi-vie t1/2                                                         [0,25 pt]

C’est le temps au bout duquel la moitié d’une population de noyaux donnée s’est désintégrée

2. Constante radioactive l

a. Donner la relation entre la constante radioactive l et le temps de demi-vie t1/2
                                                                                                                             [0,25 pt]

La démonstration n’est pas demandée. Cependant, si N0 est la population initiale et t1/2 le temps de demi-vie, par application de la loi de décroissance :
                  =>                 =>      

b. À l’aide du texte, montrer que la valeur de la constante de radioactivité, en unité SI, pour la désintégration du carbone 14 est l = 3,95.10-12 SI.                                        [0,25 pt]

Par application de la relation ci-dessus :                 

3. Soit N le nombre moyen de noyaux radioactifs restant dans un échantillon à la date t. Le nombre moyen de désintégrations pendant une durée Dt courte devant t est - DN (opposé de la variation de N). Ce nombre moyen de désintégrations est donné par la relation :
                                                           - DN = l.N.Dt.
Déterminer le nombre de désintégrations par minute et par gramme de carbone d’un organisme vivant à partir du moment de sa mort.                                                          [0,50 pt]

Le texte dit que le nombre d’atomes de carbone 14 par gramme de matière vivante est
N = 6,8.1010.
Le nombre de désintégrations sera donc -
DN = 3,95.10-12.6,8.1010. 60 = 16

4. Même question pour un échantillon de 1 gramme et une durée de 1 seconde.
Quelle unité peut-on attribuer à ce dernier résultat ?                                        [0,25 pt]

Et donc, par seconde : - DN = 0,27 becquerel, puisque le becquerel est le nombre de désintégrations par seconde.

III.- Datation au carbone 14

1. Comment expliquer que la quantité moyenne de carbone 14 par kilogramme de matière (ou teneur) reste constante pour tous organismes en vie ?                                              [0,25 pt]

Parce qu’un équilibre s’établit entre la création par le bombardement cosmique et la décomposition du carbone 14 par radioactivité.

2. Comment évolue la teneur en carbone 14 quand un organisme meurt ?
Justifier la réponse.                                                                                                     [0,25 pt]

Le carbone n’étant plus renouvelé à l’intérieur de l’organisme par les échanges avec l’extérieur dont la teneur en carbone 14 reste constante, la teneur en carbone 14 dans l’organisme diminue.

3. On date par la méthode du carbone 14 un morceau de sarcophage en bois trouvé dans une tombe de l’Égypte ancienne. Dans cet échantillon, on mesure en moyenne 10 désintégrations par minute et par gramme de carbone.

a. Déterminer le nombre de noyaux de carbone 14 subsistant dans un gramme de cet échantillon.                                                                                                         [0.50 pt]

On sait que - DN = l.N.Dt             =>      

b. Proposer un âge pour le bois de ce sarcophage.                                     [0,50 pt]

Par application de la loi de décroissance :
      =>      

Une réaction dans un verre d’eau

Un comprimé d’aspirine effervescent est mis dans un verre d’eau. Entre l’aspirine (C9H8O4), principe actif du médicament, et l’ion hydrogénocarbonate HCO3- se produit une réaction dont l’équation est :

C9H8O4 + HCO3- → C9H7O4- + CO2 + H2O             (réaction 1)

On envisage de reproduire la réaction 1 au laboratoire en mettant en contact un comprimé d’aspirine 500 non effervescent, qui devrait donc contenir 500 mg de principe actif et une solution d’hydrogénocarbonate de sodium.

a. La solution d’hydrogénocarbonate de sodium introduite dans le ballon a un volume
V1 = 10 mL et une concentration C1 = 0,5 mol.L-1. Établir le tableau d’avancement de la transformation et vérifier que la solution d’hydrogénocarbonate de sodium permet la consommation totale de l’aspirine contenue dans un comprimé (la masse molaire de l’aspirine est M = l80 g.mo1-1                                                                                                         [0,50 pt]

Les quantités initiales de réactifs sont :
nasp = masp / Masp = 0,5 / 180 = 2,8.10-3 mol
nhco3 = [HCO3
-].V1 = C1.V1 = 0,5.10.10-3 = 5.10-3 mol

Quantités (en mmol)

  C9H8O4     +    HCO3-       C9H7O4- +      CO2       +     H2O

 

Avancement

 

 

 

 

 

Initiales

0

2,8

5

 

0

 

En Cours

x

2,8 - x

5 - x

 

x

 

Finales

xmax

2,8 – xmax

5 – xmax

 

xmax

 

La réaction s’arrête quand l’un des réactifs est épuisé : 2,8 – xmax, ou bien 5 – xmax

=> l’avancement maximal est xmax = 2,8 mmol, et le réactif limitant est bien l’aspirine.

b. La réaction est suivie par une méthode physique : mesure de la pression l’intérieur d’une enceinte étanche.

Schéma de principe avant mise en contact des réactifs :

• L’apparition de dioxyde de carbone, en supplément de l’air déjà présent crée une surpression pco2 mesurée par le pressiomètre.

• Lorsque le ballon est placé verticalement, le comprimé tombe dans la solution et la réaction « démarre »

 

 

 

 

 

Image du montage (retirée pour ne pas faire trop « lourd »)

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 


Informations théoriques :

La surpression pco2 vérifie l’équation : pco2.V = nco2.RT
pco2 est exprimée en pascal (Pa)
V correspond au volume de l’enceinte, en m3
nco2 est le nombre de moles de dioxyde de carbone gazeux
R est une constante de valeur 8,31 J.mol-1.K-1
T est la température en Kelvin (K), liée à la température exprimée en degrés Celsius (°C) par la relation : T(K) = q(°C) + 273

Données expérimentales :

Volume total de l’enceinte : 300 mL
Température expérimentale : q = 26,0 °C.

Le suivi expérimental de la pression donne lieu à la courbe donnée en annexe, où pco2 est donnée en hectopascal (hPa) et le temps en secondes. (Courbe à rendre avec la copie),

1. Peut-on estimer à partir de la courbe que la réaction est terminée après l’arrêt des mesures ? Justifier votre réponse.                                                                                              [0,50 pt]

Au bout de 600 secondes (10 minutes), la pression n’augmente plus (pco2 = cste), donc, selon la relation pco2.V = nco2.RT où V, R, et T sont aussi constants, nco2. Le nombre de mole de dioxyde de carbone produit n’augmente plus.

2. Montrer que si pco2 est exprimé en pascal on a sensiblement : nco2 = 1,21.10-7.pco2 si nco2 est en mol, pco2 en pascal, et le coefficient de proportionnalité en mol.Pa-1                    [0,25 pt]

On sait :  pco2.V = nco2.RT

=> , si pco2 est en pascal et nco2 en mol

3. Définir la vitesse instantanée de la réaction (en mol.L-1s-1). Exprimer cette vitesse de réaction instantanée en fonction de la quantité de matière de gaz produit, nco2, puis en fonction de la pression pco2                                                                                                   [0,50 pt]

Par définition, si V est la volume de la solution où à lieu la réaction, et x l’avancement de la réaction :  

Mais, selon le tableau d’avancement, x = nco2  

Or nco2 = 1,21.10-5.pco2            =>       ,

où pco2 est en hPa, t en seconde, V en L, et le coefficient en mol.hPa-1

4. Déterminer la vitesse de la réaction à l’instant initial (t = 0)                           [0,75 pt]

La valeur de  à t = 0 est la pente de la tangente à la courbe à cet instant.

Graphiquement :

Et donc :

5. Selon la courbe expérimentale, déterminer la quantité de matière gazeuse formée au cours de la réaction. En déduire la quantité de matière d’aspirine consommée.                  [0,75 pt]

On sait que : nco2 = 1,21.10-7.pco2

En fin de réaction : pco2 = 210 hPa = 2,1.104 Pa          => nco2 = 1,21.10-7.2,10 = 2,55.10-3 mol

Cette quantité correspond à l’avancement maximal de la réaction. C’est donc aussi la quantité d’aspirine consommée : nasp = 2,55.10-3 mol

6. En déduire la masse d’aspirine contenue dans le comprimé. Comparer à la valeur indiquée.                                                                                                                      [0,25 pt]

La masse d’aspirine dans le comprimé est donc : masp = 180.2,55.10-3 = 0,459 g = 459 mg

Elle est inférieure à la quantité prévue. L’écart est de