Équation différentielle d'une décharge (Hélios p.124)

 

 

1a) La charge maximale du condensateur est obtenir quand la tension à ses bornes est maximale, c'est-à-dire quand elle vaut la tension existant aux bornes du générateur

ð                 q0 = C.E = 330.10-6.12 = 3,96 mC

 

1b) Étant donné le sens de branchement du générateur, le courant de charge est une circulation de charges positives du générateur vers l'armature A, et, simultanément, une circulation de charges positives de l'armature B vers le générateur.

ð                 qA > 0        et         qB < 0

 

2) Lorsque K est basculé en position 1, les charges positives de l'armature A vont se déplacer vers l'armature B.

ð                 le sens du courant est de A vers B

ð                 ce sens est opposé au sens positif choisi sur le schéma. l'intensité sera donc négative

ð                 le sens de circulation des électrons est opposé au sens du courant : de B vers A

 

3) Équation différentielle vérifiée par uAB au cours de la décharge :

La loi d'additivité des tensions permet d'écrire : uAB + uBM = 0 =>       u + Ri = 0

Mais  et q = Cu            =>      

 

Puisque  :                                 

 

4a et b) Soit une solution de l'équation différentielle vérifiée par u :      

On sait que, à t = 0, le condensateur est chargé et u = u0 (= 12 V)

ð                 u0 = a.e0 = a          => a = u0 (= 12 V)

 

En remplaçant la solution proposée dans l'équation différentielle :

      , relation qui est vérifiée quel que soit t

ð                          =>       t = RC (= 3,3.103.330.10-6 = 1,09 s)

L'expression de la tension u pendant la décharge est donc :

Puisque  :            (avec q0 = 3,96 mC)

 

4c) L'intensité dans le circuit est donnée par la définition :         =>      

 

4d)

À t = 0 :          
            et        

 

5a) Si t = t1/2, alors u = u0/2 (= 6 V)     =>      

ð                

ð                 => t1/2 = RC.ln(2) = 3,3.103.330.10-6.ln(2) = 0,75 s

 

Or t = RC = 3,3.103.330.10-6 = 1,09 s

(t > t1/2, ce qui est logique puisque t = t0,37 > t0,50 pour une décharge)

 

5b) De la même façon :            t1/4 = RC.ln(4) = 3,3.103.330.10-6.ln(4) = 1,51 s

                                               t1/8 = RC.ln(8) = 3,3.103.330.10-6.ln(8) = 2,26 s