Chute libre dans un train (Hélios n°11 p 215)

 

1a) Immobile dans quel référentiel ?

L'objet qu'on va laisser tomber est immobile dans le référentiel "train

 

1b) Référentiel galiléen ?

Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un objet sur lequel la somme des forces est nulle a un vecteur vitesse constant. Une bille posée sur le plancher horizontal du train :
- est soumis à son poids et à la réaction du plancher qui compense le poids
- est immobile si le vecteur vitesse du train est constante (elle a une vitesse constamment nulle)

=> le référentiel "train" est galiléen

 

2a) Deuxième loi de Newton appliquée au centre d'inertie de l'objet en chute supposée libre (poids seul) :

 

2b) On sait que , donc , l'accélération du mouvement a la direction, le sens et la valeur de la pesanteur à l'endroit de l'expérience.

Le mouvement sera donc uniformément accéléré.

D'autre part, cette accélération se fera dans la seule direction verticale, à partir d'une vitesse initiale nulle. Le mouvement se fera donc selon la verticale passant par la position initiale.

Le mouvement sera donc rectiligne uniformément accéléré.

2c) La hauteur de chute est connue et permet de connaître la durée de la chute une fois établie l'équation horaire du mouvement. Dans un repère constitué par un axe Oz vertical, orienté positivement vers le bas, O étant la position initiale de l'objet :

     =>       => , la vitesse initiale étant nulle (v(0) = 0)

    =>       => , la position initiale étant en O (z(0) = 0)

L'instant du contact avec le plancher du train est donc :

3) Pour un observateur terrestre, à t < 0, la bille est immobile dans un train en mouvement rectiligne uniforme. Elle a donc un vecteur vitesse constant jusqu'à l'instant de la chute, t=0.

 

4a) Le référentiel terrestre est galiléen pour le mouvement de chute dans le train et la deuième loi de Newton s'applique :            

Comme précédemment, il n'y a accroissement de vitesse que selon la verticale, soit selon Oz dans le repère . Donc :

Selon Oy : pas d'accroissement de vitesse, à partir d'une vitesse initiale nulle
=> vitesse constamment nulle
=> pas de déplacement : y = 0

Selon Ox : pas d'accroissement de vitesse, à partir d'une vitesse initiale v1 (celle du train dans le référentiel terrestre)
=> vitesse constamment égale à v1
=> équation horaire : x = v1t               (1)

Selon Oz : accroissement se vitesse, à partir d'une vitesse initiale nulle, selon la démonstartion précédente
=> équation horaire :            (2)

4b) La trajectoire est l'ensemble des positions occupées par le centre d'inertie du mobile. Elle est contenue dans le plan xOz puisque y est constamment nul. Son équation s'obtient en éliminant le paramètre temps (t) entre x et z :

(1)       =>      
(2)       =>                    =>      

4c,d) L'instant du contact avec le sol est tf tel que

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