Oscillations mécaniques (Hélios n° 19 p249)

A.- Enregistrement

1a) Mouvement périodique ou pseudopériodique ?

Les valeurs sont maximales à des intervalles de temps égaux, mais ces valeurs maximales diminuent avec le temps. Le phénomène est donc pseudopériodique.

 

1b) La pseudo période est la durée séparant le passage à deux valeurs maximales consécutives (ou deux valeurs minimales, ou deux valeurs nulles dans le même sens de variation).

 

2a) Selon l'enregistrement, 3 pseudo périodes valent 4,1 secondes, donc T = 1,35 s

 

2b) À t = 0, l'élongation x(0) est minimale négative et vaut x(0) = - 3,5 cm, ce qui correspond à une amplitude 0 = 3,5 cm

 

3) L'amplitude des oscillations diminue à cause des frottements.

 

B.- Modélisation

1) Pour l'élongation x,              la longueur du ressort étiré est (L0 + x)
la longueur du ressort comprimé est (L0 – x)

 

2) Pour l'élongation x, la force exercée par le ressort étiré est
                                               la force exercée par le ressort comprimé est

            Verticalement, le poids et la réaction du plan se compensent :

3) Par application de la 2ème loi de Newton :

=>

Soit, selon l'axe Ox :          =>      

4a) La solution de l'équation différentielle est de la forme

L'expression de la période propre du mouvement est obtenue en remplaçant x(t) par son expression dans l'équation différentielle :

Cette expression doit être vérifiée quel que soit t          =>      

Et donc :

4b)
La période propre est légèrement inférieure à la pseudo période, ce qui est attendu.

 

4c) Si, à t = 0, la vitesse est nulle :

Si, à t = 0, x a une valeur minimale (x = -3,5) :

L'amplitude s'exprimant toujours positivement, il faut F0 = p et alors xm = 3,5 (en cm)

L'expression de l'élongation est donc :

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